Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс (30.4.1777–23.2.1855) – немецкий математик, астроном, физик и геодезист. Родился в Брауншвейге в семье поденщика. С раннего детства обнаружил выдающиеся математические способности. Брауншвейгский герцог обратил на него внимание и позаботился о его обучении.

В 1795–1798 гг. Гаусс учился в Геттингенском университете. В 1799 году он защитил докторскую диссертацию, содержащую первое доказательство основной теоремы алгебры. В 1807 году Гаусс получил кафедру математики и астрономии в Геттингенском университете и должность директора Геттингенской астрономической обсерватории, где и работал до своей смерти в 1855 году.

К концу пребывания в университете Гаусс подготовил сочинение "Арифметические исследования". В этой книге собраны все достижения предшественников Гаусса в теории чисел, и вместе с тем теория чисел настолько обогащена, что опубликование книги в 1801 году иногда считают началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени; высшим достижением является закон квадратичной взаимности — "золотая теорема" (theorema aurum). В "Арифметических исследованиях" содержится также теория уравнений деления круга, которая во многом была прообразом теории Галуа. Помимо общих методов решения уравнений xn−1 = 0 Гаусс установил связь между ними и построением правильных многоугольников: нашел все такие значения n, для которых правильный n–угольник можно построить циркулем и линейкой (если n — простое, то оно должно быть вида n = 22k + 1); в частности, решив в квадратных радикалах уравнение x17−1 = 0, Гаусс дал построение правильного 17–угольника при помощи циркуля и линейки. Эти работы были выполнены Гауссом в 1796 году, когда ему было 19 лет. Тогда же Гаусс, благодаря постоянным упражнениям, достигает изумительной виртуозности в технике вычислений, он составляет большие таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражает все дроби вида 1/p для p от 1 до 1000 десятичными дробями, доведя эти вычисления до полного периода, что в некоторых случаях требовало нескольких сотен десятичных знаков.

Астрономией Гаусс заинтересовался после того, как 1 января 1801 года Пиацци в Палермо открыл первую малую планету, названную Церерой. Так как удалось провести лишь несколько наблюдений новой планеты, возникла проблема расчета орбиты планеты по малому числу наблюдений, полностью решенную Гауссом. Затем Гаусс заинтересовался проблемой вековых возмущений планет. Отсюда его "Теория движения небесных тел" (1809 г.), работа о притяжении произвольных эллипсоидов (1813 г.), исследования о механических квадратурах (1814 г.) и о вековых возмущениях (1818 г.). В связи с астрономическими вычислениями, основанными на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды, в статье "О гипергеометрическом ряде" (1812 г.) Гаусс предпринял первое систематическое исследование сходимости рядов.

После 1820 года Гаусс начал живо интересоваться геодезией: он вел и теоретические исследования, и обширную работу по триангуляции. Одним из результатов было его изложение метода наименьших квадратов (1821–1823 гг.), который уже был предметом исследования Лежандра и Лапласа. Но, может быть, самым важным достижением этого периода явилась работа "Общие исследования относительно кривых поверхностей" (1827 г.), содержащая теорему о том, что т.н. гауссова кривизна поверхности не изменяется при изгибании поверхностей, т.е. характеризует ее внутреннее свойство. Созданная таким образом внутренняя геометрия поверхностей послужила образцом для создании римановой геометрии. При составлении карты Ганноверского королевства Гаусс фактически создал т.н. высшую геодезию, основы которой изложил в сочинении "Исследования о предмете высшей геодезии" (1842–1847 гг.).

Исследования Гаусса в физике явились результатом тесного общения и совместной работы с В. Вебером по созданию электрического телеграфа. Вместе с Вебером Гаусс создал абсолютную систему электромагнитных единиц. Гаусс создал общую теорию магнетизма и заложил основы теории потенциала.

В последние годы жизни Гаусс все больше внимания уделял прикладной математике. Научное наследие Гаусса (очерки, незаконченные работы, дневники, переписка) тщательно изучалось Геттингенским ученым обществом вплоть до второй мировой войны и было издано в 11 томах. После публикации выяснилось, что Гаусс еще в 1800 году открыл эллиптические функции, а в 1818 году пришел к мысли о возможности неевклидовой геометрии. По этим вопросам он никогда ничего не публиковал, видимо из опасения быть непонятым, и только в письмах к друзьям он изложил свое критическое отношение к попыткам доказать аксиому Евклида о параллельных прямых. В письмах он говорил об осах, которые могут в него впиться, и о "криках беотийцев", которые раздадутся, если опубликовать его тайны. К публикации Лобачевского Гаусс отнесся с большим вниманием, инициировал избрание Лобачевского чл.–корр. Геттингенского ученого общества, но своей оценки этого открытия так и не опубликовал.

Трудно назвать такую область теоретической и прикладной математики, в которую Гаусс не внес бы существенного вклада. Работы Гаусса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, многих отраслей теоретической астрономии.