Примеры

Пример 1. Пусть в некотором ортонормированном базисе самосопряженный оператор
^
A
задан матрицей

A =
1 −√
3
/2
−√
3
/2
2

Найдем ортонормированный базис из собственных векторов (собственный базис) оператора
^
A
и его матрицу в этом базисе.

Решение.

1. Находим собственные значения оператора
^
A
, решая характеристическое уравнение:

A =
1 −λ −√
3
/2
−√
3
/2
2 − λ
  Ю  λ2 − 3λ + 5/4 = 0

Получаем λ1 = 5/2 , λ2 = 1/2 .

2. Для собственного значения λ1 = 5/2 находим собственный вектор. Для этого решаем однородную систему уравнений

−3/2 −√
3
/2
−√
3
/2
−1/2
· X = O

Отсюда h1 = {1/2,  − √
3
/2} — собственный вектор оператора
^
A
, соответствующий собственному значению λ1 = 5/2 .

3. Для собственного значения λ2 = 1/2 находим собственный вектор. Для этого решаем однородную систему уравнений

1/2 −√
3
/2
−√
3
/2
3/2
· X = O

Отсюда h2 = {√
3
/2, 1/2} — собственный вектор оператора
^
A
, соответствующий собственному значению λ1 = 1/2 .

Таким образом, имеем собственный базис оператора
^
A
: h1 = {1/2,  − √
3
/2} , h2 = {√
3
/2, 1/2} . Так как (h1h2) = 0 , (h1h1) = 1 , (h2h2) = 1 , базис h1h2 — ортонормированный.

4. В собственном ортонормированном базисе h1h2 матрица оператора
^
A
диагональна, причем на диагонали расположены собственные значения, соответствующие базисным векторам:

5/20
01/2
.

Пример 2. Пусть в некотором ортонормированном базисе самосопряженный оператор
^
A
задан матрицей

A =
22 −2
25 −4
−2 −45

Найдем ортонормированный базис из собственных векторов (собственный базис) оператора
^
A
и его матрицу в этом базисе.

Решение.

1. Находим собственные значения оператора
^
A
, решая характеристическое уравнение:

2 − λ2 −2
25 − λ −4
−2 −45 −λ
= 0  Ю   −λ3 + 12λ2 − 21λ + 10 = 0.

Отсюда λ1,2 = 1 , λ3 = 10 .

2. Для собственного значения λ1,2 = 1 находим собственные векторы. Для этого решаем однородную систему уравнений

12 −2
24 −4
−2 −44
·
x1
x2
x3
=
0
0
0
  Ю  
x1 + 2x2 − 2x3 = 0
2x1 + 4x2 − 4x3 = 0
−2x1 − 4x2 + 4x3 = 0

Очевидно, ранг матрицы этой системы равен 1, тогда nr = 2 — размерность пространства решений. Следовательно, система нетривиально совместна и ее фундаментальная система

X1 =
2
−1
0
,    X2 =
2
0
1
.

Таким образом, двукратному собственному значению λ = 3 соответствуют два линейно независимых собственных вектора h1 = {2, −1, 0} и h2 = {2, 0, 1} .

3. Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = 10 : h3 = {1, 2, −2} .

Таким образом, имеем собственный (но не ортонормированный) базис оператора
^
A
: h1 = {2, −1, 0} , h2 = {2, 0, 1} , h3 = {1, 2, −2} .

Чтобы построить ортогональный собственный базис g1g2g3 , можно использовать метод Грама–Шмидта, но (при n = 3 ) удобнее воспользоваться свойством ортогональности векторов, соответствующих различным собственным значениям λ = 1 и λ = 10 . Например, взять ортогональные векторы g1 = h1 и g2 = h3 , а третий вектор ортогонального базиса g3 найти как их векторное произведение:

g3 = [h1,h3] = {2,4,5}.

Нормируя векторы g1g2g3 , получаем собственный ортонормированный базис оператора
^
A
:

e1 =
g1
|| g1 ||
  =  
1
5
  {2, −1, 0},  e2 =
g2
|| g2 ||
  =  
1
3
  {1, 2, −2},
e3 =
g3
|| g3 ||
  =  
1
3√5
  {2, 4, 5},  

В собственном ортонормированном базисе e1e2e3 матрица оператора
^
A
диагональна, причем на диагонали расположены собственные значения, соответствующие базисным векторам:

Ae =
100
0100
001