Примеры

Пример 1. Определим, какая поверхность является графиком функции z = x2y2 , и изобразим ее на чертеже.

Решение. Уравнение z = x2y2 является каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Следовательно, график функции 2–х переменных z = x2y2 — гиперболический параболоид, или седло (рис. 1).

Пример 2. Найдем линии уровня C = 1, 0,  − 1 скалярного поля

z = x2y2

Решение. Линии уровня C скалярного поля z(x,y) описываются уравнением

z(xy) = C.

1. При C = 1 линия уровня поля z = x2y2

x2y2 = 1

— гипербола с вершинами на оси OY и полуосями a = b = 1 .

2. При C = 0 линия уровня поля u = x2y2

x2y2 = 0

— пара пересекающихся прямых x + y = 0 и xy = 0 .

3. При C = − 1 линия уровня поля u = x2y2

y2x2 = 1

— гипербола с вершинами на оси OX и полуосями a = b = 1 .

Пример 3. Найдем поверхности уровня кулоновского потенциала поля точечного заряда, помещенного в начале координат.

Решение.

1. Потенциал j кулоновского поля точечного заряда e , помещенного в начале координат, описывается формулой

j =
e
x2 + y2 + z2
.

2. Поверхности уровня C (эквипотенциальные поверхности) определяются уравнением

e
x2 + y2 + z2
= C  ЬЮ x2 + y2 + z2 =
e2
C2
.

Т.е. эквипотенциальные поверхности точечного заряда— сферы.