Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением, в котором не фигурирует одна из переменных:

F(x, y) = 0,  F(x, z) = 0 или F(y, z) = 0.

Свойство цилиндрических поверхностей.

Если некоторая точка M0(x0, y0, z0) принадлежит цилиндрической поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0 , то все точкипрямой, проходящей через эту точку параллельно оси OZ , также принадлежат цилиндрической поверхности. Такие прямые называются образующими цилиндрической поверхности, а кривая, описываемая уравнением F(x, y) = 0 и получающаяся в сечении любой плоскостью z = h , называется направляющей.

Примеры цилиндрических поверхностей 2–го порядка.

Эллиптический цилиндр.Уравнение

x2
a2
  +  
y2
b2
  =  1      (a, b>0)

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является эллипсс полуосями a и b (рис. 1).

В частности, уравнение x2 + y2 = R2 в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Гиперболический цилиндр. Уравнение

x2
a2
  −  
y2
b2
  =  1      ( a, b>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является гиперболас полуосями a и b (рис. 2).

Параболический цилиндр. Уравнение

y2 = 2px ( p>0 )

в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси OZ , направляющей является парабола (рис. 3).